आज का topic: matrix सिर्फ numbers का box नहीं है। वो एक instruction है — “हर point को यहाँ से उठाकर वहाँ रख दो”।
पहले basics
Matrix दिखता ऐसा है:
[ 2 1 ] [ 0 3 ]
चार numbers, एक box में।
अब दो शब्द जो शुरू में मुझे confuse करते थे:
Column = खड़ी जोड़ी (ऊपर से नीचे)
Row = लेटी हुई जोड़ी (बाएँ से दाएँ)
ऊपर वाले matrix में:
- Left column = (2, 0) — नीचे की तरफ पढ़िए
- Right column = (1, 3)
- Top row = (2, 1) — दाएँ की तरफ पढ़िए
- Bottom row = (0, 3)
एक ही चार numbers, दो तरीके से पढ़ने पर अलग जोड़ियाँ। यह छोटी सी बात है लेकिन मैंने यहीं गलती की थी, इसलिए लिख रहा हूँ।
अब असली बात
Graph paper सोचिए। उस पर दो basic arrows हैं:
i = (1, 0) — एक कदम दाएँ
j = (0, 1) — एक कदम ऊपर
ये दोनों मिलकर पूरा plane बनाते हैं। कोई भी point इन्हीं दोनों का combination है। Point (3, 4) का मतलब है — 3 बार i, और 4 बार j।
अब transformation लगाइए। पूरा graph paper खिंच गया, घूम गया, या पलट गया। i और j अपनी जगह से हट गए।
और यहीं पूरा topic एक line में आ जाता है:
Matrix के columns बताते हैं कि i और j कहाँ जाकर गिरे।
Left column = i का नया पता
Right column = j का नया पता
बस इतना।
Example
मान लीजिए transformation ने:
- i को (3, 0) पर भेजा
- j को (0, 2) पर भेजा
तो matrix:
[ 3 0 ] [ 0 2 ]
Left column में 3 और 0 खड़े हैं — यह i का पता। Right column में 0 और 2 — यह j का पता।
यह transformation क्या करती है? सब कुछ 3 गुना चौड़ा और 2 गुना ऊँचा। एक square खिंचकर rectangle बन जाएगा।
यह काम क्यों करता है
क्योंकि हर point i और j का combination है।
अगर आपको पता है कि i कहाँ गया और j कहाँ गया, तो आपको सब कुछ पता है। बाकी सब अपने आप follow हो जाता है।
यह मुझे सबसे अच्छी बात लगी इस topic में — पूरे infinite plane को समझने के लिए सिर्फ दो arrows को track करना काफी है।
आप try कीजिए
Transformation ने i को (5, 1) पर भेजा और j को (0, 3) पर।
Matrix लिखिए।
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जवाब:
[ 5 0 ] [ 1 3 ]
5 और 1 खड़े में left column — i का पता। 0 और 3 खड़े में right column — j का पता।
अगर आपने इसे rows में लिख दिया (5, 1 ऊपर और 0, 3 नीचे), तो वो अलग matrix है। मैंने भी यही गलती की थी। Columns खड़े होते हैं, यह याद रखिए।
आगे क्यों काम आएगा
अभी direct connection नहीं दिख रहा होगा, और मैं झूठ नहीं बोलूँगा — इस level पर है भी नहीं।
लेकिन आगे जब हम data की बात करेंगे, तो एक customer एक vector होगा: उम्र, income, policy type, history। और model जो करता है वो यही है — उस vector को transform करके एक जवाब निकालना।
Matrix वही transformation है। इसलिए यह नींव है।
अगली post
Ulta काम — matrix दिया हुआ है, किसी vector पर लगाना है। यहीं मैंने पहली बार गलती की थी, तो detail में लिखूँगा।