पिछली post में हमने देखा कि matrix के columns बताते हैं कि i और j कहाँ गए।
आज उल्टा काम। Matrix दिया हुआ है। एक vector दिया हुआ है। बताइए वो vector कहाँ जाकर गिरेगा।
पहले मेरी गलती
ईमानदारी से शुरू करता हूँ। मुझसे यह पूछा गया:
[ 2 1 ] [ 4 ] [ 0 3 ] [ 1 ]
मैंने जवाब दिया: (8, 4)
गलत था। सही जवाब (9, 3) है।
मैंने क्या किया? पहले row में 2 को 4 से गुणा किया, 8 आया, और वहीं रुक गया। दूसरे number को छोड़ दिया। दूसरी row में भी कुछ ऐसा ही।
गलती यह थी कि मैं समझ रहा था हर row vector के सिर्फ एक हिस्से से मिलती है। ऐसा नहीं है।
हर row पूरे vector से मिलती है। दोनों numbers से।
यह लिख लीजिए। मैंने यहीं ठोकर खाई।
सही तरीका
Row by row चलिए। एक row = जवाब का एक number।
Row 1 लीजिए। उसे vector के सामने रखिए, position से position मिलाइए, गुणा कीजिए, फिर जोड़ दीजिए। जो आया वो जवाब का पहला number।
Row 2 लीजिए। वही process। जो आया वो जवाब का दूसरा number।
वही example, ठीक से
[ 2 1 ] [ 4 ] [ 0 3 ] [ 1 ]
Row 1 = (2, 1), vector = (4, 1)
- पहला × पहला: 2 × 4 = 8
- दूसरा × दूसरा: 1 × 1 = 1
- जोड़िए: 8 + 1 = 9
Row 2 = (0, 3), vector = (4, 1)
- 0 × 4 = 0
- 3 × 1 = 3
- जोड़िए: 0 + 3 = 3
जवाब: (9, 3)
ध्यान दीजिए दोनों बार vector के दोनों numbers use हुए। यही वो चीज़ है जो मैं भूल गया था।
एक और, धीरे से
[ 1 2 ] [ 2 ] [ 3 0 ] [ 5 ]
Row 1 = (1, 2), vector = (2, 5)
1 × 2 = 2
2 × 5 = 10
जोड़: 12
Row 2 = (3, 0), vector = (2, 5)
3 × 2 = 6
0 × 5 = 0
जोड़: 6
जवाब: (12, 6)
Row 2 में 0 ने दूसरे हिस्से को खत्म कर दिया। ऐसा होता रहेगा — zero का मतलब है “इस input को मत गिनो”।
अब आप
[ 2 0 ] [ 3 ] [ 1 4 ] [ 2 ]
पहले खुद कीजिए। फिर नीचे देखिए।
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Row 1 = (2, 0) और (3, 2):
2 × 3 = 6, 0 × 2 = 0, जोड़ = 6
Row 2 = (1, 4) और (3, 2):
1 × 3 = 3, 4 × 2 = 8, जोड़ = 11
जवाब: (6, 11)
इसका मतलब क्या हुआ
Vector (3, 2) graph पर एक point था। Matrix लगाने के बाद वो (6, 11) पर चला गया।
यही transformation है। एक point को उठाकर दूसरी जगह रख देना — और matrix वो नियम है जो बताता है कहाँ रखना है।
Model यही करता है, बस बहुत बड़े scale पर। हमारे example में 2 rows हैं। असली model में हज़ारों।
जो मैंने सीखा
Concept समझ लेना और calculation सही कर लेना — दो अलग चीज़ें हैं।
मुझे “matrix एक transformation है” वाली बात समझ आ गई थी। फिर भी पहली calculation गलत की। इसलिए हर concept के बाद तीन-चार problems ज़रूर कीजिए। पढ़कर आगे बढ़ जाना काफी नहीं होता।
अगली post
Statistics की तरफ — कौन सा test कब लगाना है, और p-value का असली मतलब क्या है।